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Alexandrovの展開定理

多角形のAlexandrov接着

次の3つの条件を満たす接着(glue)をAlexandrov接着という。

  1. 多角形の協会全てを使った接着。 自分自身を接着する（接着の不動点となる）孤立点も認める。
  2. 多面体を接着した継ぎ目部分は、接着した多面体の内部角度の合計が360°を越えない（得られる凸多面体が満たすべき条件）。 360°になるときには、接着面は角にならずに平面になって継ぎ目は消えてしまう）
  3. 接着で得られた多面体は球に同相（多面体の表見は球に連続変形でき、トーラスのような穴が空いていない）。
角度$\theta_{i_1}, \theta_{i_2},\dots, \theta_{i_m}$を持つ多面体の頂点が接着されたとき \[ \theta_{i_1}+\theta_{i_2}+\dots + \theta_{i_m}\leqq 360 \] という凸多面体の満たすべき性質を持たねばならない（凹多面体はこのような制限がない）。
定理[Alexandrov(1948)]： すべてのAlexandrov接着によって、得られる凸多面体は一意的に定まる。 （2重にカバーされた多角形も多面体と考えておく）。

多面体に折ってみる

from "How To Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami, and Polyhedra", by Joseph O'Rourke(2011) http://howtofoldit.org/

問題： 左図の2つの展開図から立方体（正六面体）に折れるか？。
問題： 左図の正三角形の展開図から点xに、頂点A, B, CをAlexandrov接着させて多面体に折る。
問題： 左図の展開図からAlexandrov接着させて、多面体を折る。
正方形の周囲に沿って$x$から反時計回りに位置する点と、$C$から反時計回りで同じ距離だけ移動した点$y$とを対応させて接着する（点$x$から時計回りに$y$までの辺と反時計回りに$y$までの辺を1対1に接着）。
問題： 左図の展開図からAlexandrov接着させて、多角形を折る。
問題： 左図の展開図からAlexandrov接着させて、多面体に折る。。
問題： 左図の十字展開図からAlexandrov接着させて、多角形を折る。

未解決問題

Platon多面体を切り開いて1つの多角形にしたとき、これを折って別のPlaton立体にすることができるか？

惜しい例1

正四面体が4単面体（全ての面が合同）になる例。 点$x$と$y$は辺の中点。

惜しい例2（平田の正4面体）

比$1:1:\sqrt{3}-1/2$の直方体が正四面体になる平田の例(2000年）。