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連分数展開と有理数近似
次の単純連分数 \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{\ddots+\cfrac{1}{a_n}}}}=\frac{p_n}{q_n} \] を $a_0+[a_1,a_2,\dots,a_n]_C$ と表記しよう。 $[a_1,a_2,\dots,a_n]_C$は$[0,1)$内の有理数である。
連分数展開リストが与えられると、オブジェクト指向--有理数計算を例にしてで定義した既約有理数を計算するクラス rational を使って有理数表現が可能になる。
参考書は、不滅の名著、高木貞治『初等整数論講義』(第二版1931年、共立出版)
円周率
高木貞治『初等整数論講義』によると、$\pi$の単純連分数は \[ \pi = 3+ [7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,6,1]_C \] と表されるとある。 小数10位まで用いては連分数 $3+ [7,15,1,292,1]_C$ でより以上には表すことはできない（連分数の収束性はたいへん高いということだ）。 円周率 $\pi$ は超越数であり、無限小数や単純連分数展開において現れるディジット（整数）には周期性などは観測されない（ただし、単純でない連分数で規則性を持つものが存在する）。
この関数 continued_fraction によって長さ i = 0,1,2,.. の $\pi$ の連分数展開リストから計算した有理数と浮動小数を次のように表示するスクリプト continued_fraction.py を書きなさい。
./continued_fraction.py 0 3/1 3.0 1 22/7 3.14285714286 2 333/106 3.14150943396 3 355/113 3.14159292035 4 103993/33102 3.14159265301 5 104348/33215 3.14159265392 6 208341/66317 3.14159265347 .... ....この結果の後半は、プログラムが正しくとも出力は正しくない。 円周率 $\pi$ の詳しい結果を調べて、どの結果から正しくないかを調べて、その理由を考えなさい。
連分数展開
区間$(0,1]$の点 $x$ の連分数展開 $[a_1(x),a_2(x),\dots, a_n(x)]_C$ は次のようにして求めることができる。 写像 $ T_C: (0,1]\rightarrow (0,1]$ を \[ T_C(x) = \frac{1}{x} - a(x), \qquad a(x) = \lfloor \frac{1}{x} \rfloor \] で定める。 ここで、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ を越えない最大の整数を返す床関数である。 $T_C$を使って、次のようにして $x=x_0$ から逐次的に $x_1,x_2,\dots, x_{n}$、および整数の列 $[a_1(x),a_2(x),\dots, a_n(x)]_C$ を計算することができる。 \[ x_{n+1} = T_C^{n+1}(x) = x_{n} - a(x_{n}),\quad a_{n+1}(x)=a(x_n) \] この $[a_1(x),a_2(x),\dots, a_n(x)]_C$ が $x\in(0,1]$ の連分数展開である（もちろん、一般には$n\rightarrow\infty$なのであるが）。
