表が出る確率$p$のコインをn回投げたとき，$k$回連続で同じ面が出たことのある確率(PC利用)．

角田　保(大東文化大学経済学部)　2025/09/08

$q=1-p$とし，最初の所持金が$k$円で，所持金が0円か$2k$円になった場合に終了する，以下のようなギャンブラー問題を考える．

(i)初回については，表が出たら$k+1$円となり，裏が出たら$k-1$円となる．

(ii)表が出続けているときには，所持金は1円づつ増える．表が出た後に裏が出たら所持金は$k-1$円となる．

(iii)裏が出続けているときには，所持金は1円づつ減る．裏が出た後に表が出たら所持金は$k+1$円となる．

(iv)$n$回後に所持金が$0$円もしくは$2k$円となっている場合の確率が，求める確率である．

推移行列は0行0列から2k行2k列の2k+1次正方行列Pであり，$P(i,j)$を$P$の$(i,j)$成分として以下のように表される．

所持金が0円か$2k$円になった場合に終了するので，$P(0,0)=1,P(2k,2k)=1$．

(i)より，$P(k,k+1)=p,P(k,k-1)=q$．

(ii)より，$\begin{cases}P(i,i+1)=p \\ P(i,k-1)=q \end{cases} \quad (i=k,k+1,\cdots,2k-1)$．

(iii)より，$\begin{cases}P(i,i-1)=q\\ P(i,k+1)=p \end{cases} \quad (i=1,2,\cdots,k-1)$．

(iv)より，$P^n$の，$(k,0)$成分と$(k,2k)$成分の和が求める答である．

python プログラム

import numpy as np

#初期値3個
p = 0.25
n = 10
k = 4

q = 1-p

#推移行列Pを作成する
P = np.zeros((2*k+1,2*k+1)) 
P[0,0] = 1
P[2*k,2*k] = 1
P[k,k+1] = p
P[k,k-1] = q

for i in range(k+1,2*k):
    P[i,i+1] = p
    P[i,k-1] = q

for i in range(1,k):
    P[i,i-1] = q
    P[i,k+1] = p

## Pをn乗し、確率を求める
Pn =  np.linalg.matrix_power(P,n)
prob = Pn[k,0]+Pn[k,2*k]
print("近似解",prob)